A bola de futebol, de Platão a Messi

Talvez Platão sonhasse com Messi, quando explorou quais formas planas simétricas poderiam ser usadas para construir uma esfera com uma única variedade de formas geométricas. Ele chegou à seguinte conclusão: triângulos, quadrados, pentágonos e hexágonos.

Então, a questão era: quais peças tridimensionais criar?

A mais fácil é costurar quatro peças triangulares para formar uma pirâmide com base triangular, chamada tetraedro. Ela tem quatro faces: três faces triangulares que formam a pirâmide e uma base. Possui quatro vértices, como pode ser visto na Figura 1. Mas, qualquer um pode perceber que não é a melhor bola de futebol que podemos imaginar.

Figura 1:

a) Tetraedro; b) Cubo; c) Octaedro; d) Icosaedro; e) Dodecaedro.

 Em seguida, em ordem de dificuldade, vem o cubo, com seis faces quadradas. Embora seja tão estável que é difícil jogar com ele, sua estrutura é a base da bola usada na primeira Copa do Mundo em 1930. Veja na Figura 2 como ele pode ser deformado para se tornar uma esfera.

Platão continuou a experimentar com outros sólidos simétricos e chegou ao octaedro, ao icosaedro e ao dodecaedro.

Figura 2:

Faces de um cubo deformado para formar uma bola.

De todas as figuras encontradas por Platão, é o icosaedro, formado por 20 triângulos equiláteros, que melhor se aproxima de uma bola de futebol. Messi aprovaria!

Mas, será que existiria algum outro objeto capaz de formar uma esfera e que escapou a Platão? Foi algum tempo depois que Euclides provou matematicamente que os sólidos encontrados por Platão eram os únicos. Messi ficaria aliviado ao ver que a matemática ajudou na busca pela bola ideal.

Anos depois, Arquimedes, preocupado em criar uma esfera, elaborou uma classificação completa das melhores formas geométricas que se transformariam em esferas, encontrando 13 formas diferentes, a partir dos objetos de Platão. Embora o trabalho original de Arquimedes tenha se perdido, esses sólidos são conhecidos como sólidos de Arquimedes.

O matemático começou cortando os vértices em pontos equidistantes. Assim, por exemplo, se cortarmos o tetraedro, cada vértice será substituído por um triângulo equilátero e os triângulos originais por hexágonos, como visto na figura “tetraedro truncado".

Figura 3:

a) Tetraedro truncado

b) Tetraedro truncado aberto

Se você quiser experimentar e ver por si mesmo que algo semelhante a uma esfera é formado, pode usar o diagrama "tetraedro truncado aberto" em um pedaço de papelão, como na Figura 3 (b). Cada vez que truncamos um vértice, nos aproximamos de uma esfera.

No icosaedro, que possui 20 faces triangulares, 5 faces se encontram em cada vértice. Isso significa que, se truncarmos os vértices, produzimos pentágonos, e os triângulos se transformam em hexágonos. Esse objeto, chamado icosaedro truncado, foi usado pela primeira vez na final da Copa do Mundo FIFA de 1970. Ah, sim, Pelé poderia ter nos falado sobre essa bola!

A Bola Zeitgeist, apresentada na Copa do Mundo de 2006 na Alemanha, a qual foi anunciada como "a bola de futebol mais redonda que existe", baseia-se nos sólidos de Arquimedes. E o resto fica por conta dos fãs de futebol, que podem se divertir lendo "Os Mistérios dos Números", de Marcus de Sautoy no qual se baseia esta narrativa.

Para ver todos os sólidos de Arquimedes, recomendo:

Site do IME/Unicamp (em manutenção no momento) 

Wikipedia: Poliedro truncado